おわりに
結局、解析力学でしていることというのは、力学の簡明なニュートンの運動方程式 \[ \mathbf{F}=m\mathbf{a} \] を、これと同等なより複雑な形に書き換えるということであった。 1つ目がラグランジュ方程式 \[ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\, L}{\partial\, \dot{q}}\right)=\frac{\partial\, L}{\partial\, q} \] であり、2つ目が正準方程式 \[ -\frac{\partial\, H}{\partial\, q}=\dot{p} \qquad\qquad \frac{\partial\, H}{\partial\, p}=\dot{q} \] であった。 \( -\frac{\partial\, H}{\partial\, q}=\dot{p} \) はラグランジュ方程式に対応しており、 \( \frac{\partial\, H}{\partial\, p}=\dot{q} \) は\(p\)の定義式である \( \frac{\partial\, L}{\partial\, \dot{q}}=p \) を\(\dot{q}\)について解いたものである。 3つ目がハミルトンヤコビの方程式 \[ H\left(q,\frac{\partial\, S}{\partial\, q},t\right)+\frac{\partial\, S}{\partial\, t}=0\qquad\qquad \] である。これから \[ \frac{\partial\, S}{\partial\, q}=p\quad\quad \frac{\partial\, S}{\partial\, \alpha}=\beta \] を使って\(q,p\)を求めるわけである。 ラグランジュ方程式や正準方程式というのは一種の手続きを表しているのであって、どんな系でもこの手続を踏めばニュートンの運動方程式と同等な方程式が得られるということである。例えば直交座標でのラグランジュ方程式は \[ F_i=m\ddot{x}_i \] となるのだが、これはいわゆる直交座標でのニュートンの運動方程式である。
ラグランジュ方程式というのは系の状態を\(q\)と\(\dot{q}\)で指定し、 正準方程式というのは\(q\)と\(p\)で指定し、 ハミルトンヤコビの方程式では\(q\)と\(\alpha\)を指定していると言える。その変数の関係は \[ \frac{\partial\, L}{\partial\, \dot{q}}=p\qquad\qquad \frac{\partial\, S}{\partial\, q}=p \] という式で結ばれている。
変分法を使ってニュートンの運動方程式と同等な表現ができる。それは 「実際の運動\(q(t)\)は、汎関数 \[ I[q(t)]=\int L(q,\dot{q},t)dt \] の停留関数である」というものである。また、「実際の運動\(q(t),p(t)\)は、汎関数 \[ I[q(t),p(t)]=\int \sum p\dot{q}-H(q,p,t) dt \] の停留関数である」という言い方もある。これなども単純な法則を複雑な言い方に変えたものと言える。