第4章 ハミルトンの正準方程式
この章ではハミルトニアンと正準方程式について説明する。ハミルトニアンというものが考えられるには、2-4節の条件1が成り立ち、ラグランジュ方程式\(\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\, L}{\partial\, \dot{q}}\right)=\frac{\partial\, L}{\partial\, q}\)が成り立つ系である。最初に、準備としてルジャンドル変換について述べる。数学的にはハミルトニアンはラグランジアンをルジャンドル変換したものである。必ずしもルジャンドル変換の箇所を読まなくても、後の部分は理解できると思う。数学的には正準方程式というものはラグランジュ方程式という微分方程式を他の座標で表したものにほかならない。この章でも例を多く入れたが適宜飛ばしてもらえば良いと思う。この章の内容自体は難しくないと思う。
4-1節 ルジャンドル変換
数学でのルジャンドル変換の正しい定義についてはよく知らないが、このテキストを読むのに必要な知識をここに説明する。
1変数
まず1変数のルジャンドル変換について考えよう。関数\(f(x)\)から \begin{equation} g=f_x\cdot x-f \label{r1} \end{equation} という量\(g\)を作る変換をルジャンドル変換という (注 この式の符号を逆にした \[ g=f-f_x\cdot x \] もルジャンドル変換という。このテキストではラグランジアンからハミルトニアンへのルジャンドル変換は式(\ref{r1})の方なので、ルジャンドル変換を式(\ref{r1})のように定義した。) 。 ここで \[ f_x\equiv\frac{df}{dx} \] 微小変化量\(\Delta x\)に対応する\(g,f_x,f\)の変化量を\(\Delta g,\Delta f_x,\Delta f\)と書くと1次の範囲で \begin{equation} \Delta g=(\Delta f_x\cdot x+f_x\cdot\Delta x)-f_x\cdot \Delta x \label{r2} \end{equation} の関係が成り立ち、これは \[ \Delta g=\Delta f_x\cdot x \] となる。よって \begin{equation} \frac{dg}{d\,f_x}=x \label{r4} \end{equation} である。量\(x\)と量\(f_x\)の独立な関係式は1つしか無いはずなので、この式は\(f_x=f_x(x)\)を\(x\)について解いた式になっているということである。すなわち\(f_x=f_x(x)\)と\(x=\frac{d}{d\,f_x}g(f_x)\)は互いに逆関数になっているということである。尚、\(g\)が\(f_x\)で表せるためには、\(x\)が\(f_x\)で表されなければならないが、そのためには \[ \frac{d\,f_x}{dx}\ne 0 \] であればよい(定理1-4 陰関数定理参照)。式(\ref{r2})のような微小量の取扱は数学の本ではしないが、物理ではいつも使っている。数学の本では式(\ref{r1})を\(f_x\)で微分するときは \[ \frac{dg}{d\,f_x}=x+f_x\cdot \frac{dx}{d\,f_x}-\frac{dx}{d\,f_x}\frac{df}{dx} \] とするだろう。しかし、この式は式(\ref{r2})を\(\Delta f_x\)で割った式と形式上は同じであるから、式(\ref{r2})のような扱いをした方が簡潔でよいのである。
例4-1
\(f=x^2\)をルジャンドル変換しよう。 \[ f_x=2x \] なので \[ g=f_x\cdot x-x^2=\frac{f_x^2}{4} \] である。だから \( \frac{dg}{df_x}=x \) という式は今の場合 \[ \frac{f_x}{2}=x \] となる。\(f_x=2x\)なので確かに\( \frac{dg}{df_x}=x \)が成り立っていることがわかる。 \(f_x=f_x(x)\)と\(x=\frac{dg}{d\,f_x}(f_x)\)は互いに逆関数になっているのである。
多変数
次に、何変数でもよいのだが、3変数関数\(f(x,y,z)\)を考え、\(x,y\)についてルジャンドル変換しよう。すなわち \[ g=f_x\cdot x+f_y\cdot y-f \] という量を作る。独立変数\(x,y,z\)が微小量\(\Delta x,\Delta y,\Delta z\)だけ変化したときの、\(g,f_x,f_y,f_z,f\)の変化量を\(\Delta g,\Delta f_x,\Delta f_y,\Delta f_z,\Delta f\)と書く。すると1次の範囲で \begin{eqnarray} \Delta g&=&\Delta f_x\cdot x+f_x\Delta x+\Delta f_y\cdot y+f_y\Delta y-(f_x\Delta x+f_y\Delta y+f_z\Delta z)\notag\\ &=&\Delta f_x\cdot x+\Delta f_y\cdot y-f_z\Delta z\notag \end{eqnarray} となる。よって\(g\)を\(f_x,f_y,z\)で表すして\(f_x,f_y,z\)で微分すると \begin{equation} \frac{\partial\, g(f_x,f_y,z)}{\partial\, f_x}=x\qquad \qquad\frac{\partial\, g(f_x,f_y,z)}{\partial\, f_y}=y\qquad \qquad\frac{\partial\, g(f_x,f_y,z)}{\partial\, y}=-\frac{\partial\, f(x,y,z)}{\partial\, z} \label{r123} \end{equation} が成り立つ。 ルジャンドル変換に使った変数\(x,y\)については、元の量\(f\)のその変数での微分係数で新しい量\(g\)を微分すると、その変数\(x,y\)になり、ルジャンドル変換に使わなかった変数\(z\)については、それで新しい量\(g\)を微分したものは、元の量\(f\)を同じ\(z\)で微分したもののマイナス符号をつけたものになる。 ただし偏微分する際に固定しているものが異なる。\(\frac{\partial\, g}{\partial\, z}\)は\(f_x,f_y\)を固定しており、\(\frac{\partial\, f}{\partial\, z}\)は\(x,y\)を固定している。
式(\ref{r123})の意味だが、導関数から \[ f_x=f_x(x,y,z)\qquad\qquad f_y=f_y(x,y,z) \] と\(f_x,f_y,x,y\)は関係があり、これを満たすなら式(\ref{r123})は恒等式になるという意味である。\(\frac{\partial\, g}{\partial\, f_x}\)を\(x,y,z\)で表せば\(x\)になるということである。尚、\(g\)が\(f_x,f_y\)と\(z\)で表せるためには、\(x,y\)が\(f_x,f_y\)と\(z\)で表されなければならないが、そのためには \[ \det\left| \begin{array}{cc} \frac{\partial\, f_x(x,y,z)}{\partial\, x}&\frac{\partial\, f_x(x,y,z)}{\partial\, y}\\ \frac{\partial\, f_y(x,y,z)}{\partial\, x}&\frac{\partial\, f_y(x,y,z)}{\partial\, y} \end{array} \right|\ne 0 \] であればよい(定理1-5 陰関数定理の系参照)。 1変数のときでも述べたが、 \begin{equation} f_x=f_x(x,y,z)\qquad f_y=f_y(x,y,z) \label{nara} \end{equation} という関係が成り立つなら \[ \frac{\partial\, g(f_x,f_y,z)}{\partial\, f_x}=x\qquad \qquad\frac{\partial\, g(f_x,f_y,z)}{\partial\, f_y}=y \] が成り立つということは、この式は(\ref{nara})を\(x,y\)で解いた式、すなわち逆関数になっているということである。これから述べる正準方程式に関して言えば、この逆関数になっているという視点の方が重要だと思う。
次の例で式(\ref{r123})が成り立っていることを確認してみよう。
例4-2
\(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\)を\(x,y\)に関してルジャンドル変換しよう。\(f_x=2x,f_y=2y\)なので \begin{eqnarray} g&=&f_x\cdot x+f_y\cdot y-f\notag \\ &=&2x\cdot x+2y\cdot y-(x^2+y^2+z^2)\notag \\ &=&x^2+y^2-z^2\notag \\ &=&\frac{f_x^2}{4}+\frac{f_y^2}{4}-z^2\notag \end{eqnarray} となる。そして \begin{equation} \frac{\partial\, g(f_x,f_y,z)}{\partial\, f_x}=\frac{f_x}{2}\qquad \frac{\partial\, g(f_x,f_y,z)}{\partial\, f_y}=\frac{f_y}{2} \label{tasika} \end{equation} である。\(f_x=2x,f_y=2y\)なので \[ \frac{\partial\, g(f_x,f_y,z)}{\partial\, f_x}=x\qquad \frac{\partial\, g(f_x,f_y,z)}{\partial\, f_x}=y \] が成り立っているわけである。そしてこの式は(\ref{tasika})より \[ \frac{f_x}{2}=x\qquad\frac{f_y}{2}=y \] なので確かに\(f_x=2x,f_y=2y\)の逆関数になっている。 又 \[ \frac{\partial\, g(f_x,f_y,z)}{\partial\, z}=-2z \qquad\qquad \frac{\partial\, f(x,y,z)}{\partial\, z}=2z \] であり、確かに \[ \frac{\partial\, g(f_x,f_y,z)}{\partial\, z}= -\frac{\partial\, f(x,y,z)}{\partial\, z} \] が成り立っていることがわかる。【例終】
今は3変数関数で、2つの変数についてルジャンドル変換したが、これは何変数関数で、何個の変数についてルジャンドル変換しようと同じことである。だから以下の定理が成り立つ。
定理4-1 関数\(f=f(x_i,y_i)\)で\(x_i\)をルジャンドル変換する変数の組。\(y_i\)をしない方の変数の組とすると ルジャンドル変換は \[ g=\sum_i f_{x_i}\cdot x_i-f \] で定義され、 \[ \frac{\partial\, g(f_{x_i},y_i)}{\partial\, f_{x_i}}=x_i\qquad \qquad\frac{\partial\, g(f_{x_i},y_i)}{\partial\, y_i}=-\frac{\partial\, f(x_i,y_i)}{\partial\, y_i} \] が成り立つ。尚、\(\displaystyle \frac{\partial\, g(f_{x_i},y_i)}{\partial\, f_{x_i}}=x_i\)は\(f_{x_i}=f_{x_i}(x_i,y_i)\)を\(x_i\)について解いた式になっている。
4-2節 ハミルトニアンと正準方程式
ラグランジュ方程式 \[ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)=\frac{\partial L}{\partial q_i} \] が成り立つ系を考える。すなわちポテンシャルからの力と、仕事をしない力しか存在しない条件1（2.4節）を満たす系を考えるのである。ラグランジアン\(L(q_i,\dot{q}_i,t)\)をすべての\(\dot{q}_i\)についてルジャンドル変換した量をハミルトニアンといい、\(H\)と書く。すなわち \[ H\equiv \sum_i \frac{\partial\, L}{\partial\, \dot{q}_i}\dot{q}_i-L \] である。一般化運動量\(p_i\)を \begin{equation} p_i\equiv\frac{\partial\, L}{\partial\, \,\dot{q}_i} \label{h1} \end{equation} と定義しよう (注 ラグランジアンは慣性系ごとに値が異なるので、ハミルトニアンも一般化運動量も慣性系ごとに値が異なることになる。) 。 ルジャンドル変換の結果として、定理4-1より必然的に \[ \frac{\partial\, H(p_i,q_i,t)}{\partial\, p_i}=\dot{q}_i \] \begin{equation} \frac{\partial\, H(p_i,q_i,t)}{\partial\, q_i}=-\frac{\partial\, L(q_i,\dot{q}_i,t)}{\partial\, q_i} \label{h4} \end{equation} が成り立つ (注 \(H\)が\(p,q,t\)で表すことができるためには \[ \det\left|\frac{\partial\, L}{\partial\, \dot{q}_j\dot{q}_i}\right|\ne 0 \] であればよい(定理1-5 陰関数定理の系参照)。) 。これは定義式(\ref{h1})の関係があるならば、必ず成り立つ恒等式であり、\(L\)がどんな量であろうと\(q_i\)がどんな軌道をとろうが成り立つ式である。今はラグランジュ方程式 \begin{equation} \frac{\partial\, L}{\partial\, q_i}=\dot{p}_i \label{sika} \end{equation} が成り立つ系を考えている。だからこの式 を使うと、式(\ref{h4})は \[ \frac{\partial\, H}{\partial\, q_i}=-\dot{p}_i \] となる。定理4-1で述べたように\(\frac{\partial\, H}{\partial\, p_i}=\dot{q}_i\)と言うのは、\(p_i\equiv\frac{\partial\, L}{\partial\, \,\dot{q}_i}\)の逆関数になっており、 \(p_i\)の定義であり物理的内容は一切含んでいない。一方\(\frac{\partial\, H}{\partial\, q_i}=-\dot{p}_i\)というのがニュートンの運動方程式に対応するものであり、物理的内容を含んだ式である。正準方程式が成り立つのはラグランジュ方程式(\ref{sika})が成り立つときであり、それは ポテンシャルからの力と、仕事をしない力しか存在しないときであることに注意。まとめると
ハミルトニアン\(H\)はラグランジアン\(L\)から \begin{equation} H\equiv \sum_i p_iq_i-L \label{h2c} \end{equation} で定義される。一般化運動量\(p_i\)を \begin{equation} p_i\equiv\frac{\partial\, L}{\partial\, \dot{q}_i} \label{h1c} \end{equation} と定義する 。\(p_i\)を使って\(\dot{q}_i\)を消去し、\(H\)を\(p,q\)の関数で表したとき \begin{eqnarray} \frac{\partial\, H}{\partial\, p_i}&=&\dot{q}_i\qquad\quad (p_i\text{の定義式}\quad \frac{\partial\, L}{\partial\, \dot{q}_i}=p_i\text{の逆関数})\notag\\ \frac{\partial\, H}{\partial\, q_i}&=&-\dot{p}_i\qquad(\text{運動方程式}\quad \frac{\partial\, L}{\partial\, q_i}=\dot{p}_i\text{に対応})\notag\\ \end{eqnarray} が成り立つ。この2つの式を正準方程式という。\(p,q\)を正準変数という。
4-3節 ラグランジュ方程式と正準方程式の数学的関係
数学的には正準方程式というのはラグランジュ方程式の変数を変換したものにすぎない。そのことを文字を変え、より見やすい形で説明しよう。ラグランジュ方程式 \[ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\, L(q,\dot{q},t)}{\partial\, \dot{q}}\right)=\frac{\partial\, L(q,\dot{q},t)}{\partial\, q} \] という微分方程式は、\(q,\dot{q}\)を\(x,y\)と書き \(\frac{\partial\, L(q,\dot{q},t)}{\partial\, \dot{q}}\)を\(f(x,y,t)\)と書き、\(\frac{\partial\, L(q,\dot{q},t)}{\partial\, q}\)を\(g(x,y,t)\)と書くと \[ \frac{d}{dt}f(x,y,t)=g(x,y,t) \] となる。 \[ f=f(x,y,t) \] と置いて、この式を\(x,f\)で表すと \[ \frac{df}{dt}=g(x,f,t) \] となる(注 ここでの\(g\)は不変量表示とする。)。これが正準方程式に対応するわけである。ラグランジュ方程式から正準方程式に変換するというのはただこれだけのことをしただけである。だからラグランジュ方程式と正準方程式が同値なのは言うまでもない。単に文字を書き換えたに過ぎないからである。尚ラグランジュ方程式も正準方程式も \( \frac{dx}{dt}=y \) という関係も付け加えなければならない。
4-4節 例
例4-3
1粒子の1次元でのハミルトニアンを求めよう。ラグランジアンは \[ L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-V(x) \] なので \[ \frac{\partial\, L}{\partial\, \dot{x}}=m\dot{x}_i \] である。だから一般化運動量\(p\)は \begin{equation} p=m\dot{x} \label{h9} \end{equation} である。これは通常の運動量と同じである。これを使うとハミルトニアンは \begin{eqnarray} H&=&p\dot{x}-\left(\frac{1}{2}m\dot{x}^2-V(x)\right)\notag\\ &=&\frac{p^2}{2m}+V(x)\notag \end{eqnarray} となる。これはエネルギーと一致している。1つ目の正準方程式\(\frac{\partial\, H}{\partial\, p}=\dot{x}\)は \begin{equation} \frac{p}{m}=\dot{x} \label{h11} \end{equation} であり、これは式(\ref{h9})の逆関数である。つまり\(p\)の定義になっている。又、2つ目の正準方程式\(\frac{\partial\, H}{\partial\, x}=-\dot{p}\)は \[ \frac{\partial\, V}{\partial\, x}=-\dot{p} \] である。これは、式(\ref{h11})の\(p=m\dot{x}\)を使うと \[ m\ddot{x}=-\frac{\partial\, V}{\partial\, x} \] となる。すなわちニュートンの運動方程式である。だから\[\frac{\partial\, H}{\partial\, x}=-\dot{p}\]こそが物理的内容を表していることがわかる。【例終】
今の例からわかると思うが
定理4-2 直交座標ではハミルトニアンは \[ H=\sum_i\frac{p_i^2}{2m_i}+V \] であり、系のエネルギーと一致している。 正準方程式は \[ \frac{p_i}{m_i}=\dot{x}_i \qquad\qquad \dot{p}_i=-\frac{\partial\, V}{\partial\, x_i} \] となる。
例4-4
平面極座標を考えよう。2-3節の式(11)の結果を使うと、この場合のラグランジアンは \[ L=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)-V \] である。この場合一般化運動量の定義式\(\frac{\partial\, L}{\partial\, \dot{q}}=p\)は \begin{equation} m\dot{r}=p_r \qquad\qquad mr^2\dot{\theta}=p_\theta \label{h301} \end{equation} となる。尚、 \(p_r\)は通常の運動量の\(r\)方向への正射影、\(p_\theta\)は角運動量になっている。 ラグランジュ方程式は \begin{equation} m\ddot{r}=-\frac{\partial\, V}{\partial\, r}+mr\dot{\theta}^2 \qquad\qquad \frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta})=-\frac{\partial\, V}{\partial\, \theta} \label{625} \end{equation} である。 ハミルトニアンは \begin{eqnarray} H&=&p_r\cdot\dot{r}+p_\theta \cdot\dot{\theta}-\left(\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)-V\right)\notag\\ &=&\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)+V\notag\\ &=&\frac{1}{2m}\left(p_r^2+\frac{p_\theta^2}{r^2}\right)+V \label{2-100} \end{eqnarray} となる。この場合も2段目の式の\(\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)\)は運動エネルギーなので、ハミルトニアンは\(T+V\)となり、エネルギーと一致していることがわかる。1つ目の正準方程式\(\frac{\partial\, H}{\partial\, p}=\dot{q}\)は \begin{equation} \frac{p_r}{m}=\dot{r} \qquad\qquad \frac{p_\theta}{mr^2}=\dot{\theta} \label{s625} \end{equation} であり運動量の定義式(\ref{h301})の逆関数になっている。又、\(r\)についての2つ目の正準方程式\(\frac{\partial\, H}{\partial\, q}=-\dot{p}\)は \[ -\frac{1}{m}\frac{p_\theta^2}{r^3}+\frac{\partial\, V}{\partial\, r}=-\dot{p}_r \qquad\qquad \frac{\partial\, V}{\partial\, \theta}=-\dot{p}_\theta \] であり、これは式(\ref{s625})を使って\(p_r,p_\theta\)を消去すると \[ -m\ddot{r}=\frac{\partial\, V}{\partial\, r}-mr\dot{\theta}^2 \qquad\qquad \frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta})=-\frac{\partial\, V}{\partial\, \theta} \] となる。これはラグランジュ方程式(\ref{625})と同じである。【例終】
尚、参考までに3次元極座標のハミルトニアンを書くと \[ H=\frac{1}{2m}\left(p_r^2+\frac{p_\theta^2}{r^2}+\frac{p_\phi^2}{r^2\sin^2\theta}\right)+V \] となる。 今の結果を表にすると、表4-1になる。