付録A ラグランジュ方程式のテンソル形式
ラグランジュ方程式をテンソルの観点から考察しよう。ラグランジュ方程式 \[ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\, T}{\partial\, \dot{q}_\alpha}\right)-\frac{\partial\, T}{\partial\, q_\alpha}=f_\alpha \] と言うのはテンソルの言葉で言えば、共変ベクトルの式になっている。そのことは、この式よりも、この式の原型の \[ \sum_i \frac{\partial\, x_i}{\partial\, q_\alpha}m_i\ddot{x}_i=\sum_i\frac{\partial\, x_i}{\partial\, q_\alpha}F_i \] を見るとすぐわかろう。この式は左辺も右辺も明らかに共変ベクトルとして変換する。そしてラグランジュ方程式の左辺とこの左辺は恒等式であり、ラグランジュ方程式の右辺はこの式の右辺の省略記号だからである。
テンソルの記号を使えば、 \begin{equation} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\, T}{\partial\, \dot{q}_\alpha}\right)- \frac{\partial\, T}{\partial\, q_\alpha} = \dot{p}_\alpha-\sum_{\gamma,\beta} \Gamma^\beta_{\alpha,\gamma}\dot{q}_\gamma p_\beta \label{kaite} \end{equation} という恒等式が成り立つ。これは、この座標系が、この運動エネルギーの基準となっている慣性系での直交座標系と時間を含まない変換で結ばれているとき成り立つ。いわゆる慣性系に固定された座標系で成り立つ。これを使うと
ラグランジュ方程式は \[ \dot{p}_\alpha-\sum_{\gamma,\beta} \Gamma^\beta_{\alpha,\gamma}\dot{q}_\gamma p_\beta=f_\alpha \] と書ける。
\(\Gamma^\beta_{\alpha,\gamma}\)はいろいろな定義があるが、とりあえず ここでは \[ \sum_i \Gamma^\beta_{\alpha,\gamma} \equiv\frac{\partial\, q_\beta}{\partial\, x_i}\frac{\partial\,^2 x_i}{\partial\, q_\alpha\partial\, q_\gamma} \] としておこう。恒等式(\ref{kaite})の証明を書こう。 \(\dot{p}_\alpha\)は定義により\(\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\, T}{\partial\, \dot{q}_\alpha}\right)\)なので、 \[ \sum_{\gamma,\beta}\frac{\partial\, T}{\partial\, q_\alpha}=\Gamma^\beta_{\alpha,\gamma}\dot{q}_\gamma p_\beta \] であることを示せれば良い。 \begin{equation} \frac{\partial\, T}{\partial\, q_\alpha}=\frac{\partial\, }{\partial\, q_\alpha}\left(\frac{1}{2}m_i\dot{x}_i^2\right)=m_ix_i\frac{\partial\, \dot{x}_i}{\partial\, q_\alpha} \label{lahon201} \end{equation} である。 \(x_i\)は設定により\(q_\alpha\)系で表したとき、時間を含まないので \[ \dot{x}_i=\sum_\gamma\frac{\partial\, x_i}{\partial\, q_\gamma}\dot{q}_\gamma \] である。だから \begin{equation} \frac{\partial\, \dot{x}_i}{\partial\, q_\alpha}= \frac{\partial\,}{\partial\, q_\alpha} \left( \sum_\gamma\frac{\partial\, x_i}{\partial\, q_\gamma}\dot{q}_\gamma \right) = \sum_\gamma\frac{\partial\,^2 x_i}{\partial\, q_\alpha\partial\, q_\gamma}\dot{q}_\gamma \label{lahon202} \end{equation} となる。一方 \begin{equation} m_i\dot{x}_i=\frac{\partial\, T}{\partial\, \dot{x}_i}=\sum_\beta\frac{\partial\, \dot{q}_\beta}{\partial\, \dot{x}_i}\frac{\partial\, T}{\partial\, \dot{q}_\beta} =\sum_\beta \frac{\partial\, q_\beta}{\partial\, x_i}p_\beta \label{lahon203} \end{equation} である。式(\ref{lahon202})(\ref{lahon203})を式(\ref{lahon201})に入れると \[ \frac{\partial\, T}{\partial\, q_\alpha}= \left(\sum_\beta \frac{\partial\, q_\beta}{\partial\, x_i}p_\beta\right)\left( \sum_\gamma \frac{\partial\,^2 x_i}{\partial\, q_\alpha\partial\, q_\gamma}\dot{q}_\gamma\right) =\sum_{\beta,\gamma} \frac{\partial\, q_\beta}{\partial\, x_i} \frac{\partial\,^2 x_i}{\partial\, q_\alpha\partial\, q_\gamma}\dot{q}_\gamma p_\beta \] になるというわけである。\(\Gamma^\beta_{\alpha,\gamma}\)の定義を使うと \[ \frac{\partial\, T}{\partial\, q_\alpha}=\sum_{\gamma,\lambda} \Gamma^\beta_{\alpha,\gamma}\dot{q}_\gamma p_\beta \] となる。よって恒等式(\ref{kaite})が証明されたことになる。