付録D 量子化
直交座標でのシュレディンガー方程式は \[ -\sum_i \frac{\hbar^2}{2m_i}\frac{\partial\, ^2}{\partial\, x_i} \psi +V\psi=i\hbar \frac{\partial\, \psi}{\partial\, t} \] である。極座標や重心相対座標のような他の一般座標でのシュレディンガー方程式はどうなるかというと、それは単に微分の変数変換をすればよいわけである。すなわち\(q_\alpha\)を一般座標系\(x_i\)を直交座標とすると \[ \frac{\partial\,}{\partial\, x_i}=\sum_i\frac{\partial\, q_\alpha}{\partial\, x_i}\frac{\partial\, }{\partial\, q_\alpha} \] と変換すればよいわけである。一般座標でのシュレディンガー方程式とはただ単にそれだけの話しである。
このことを古典力学のハミルトニアンからの量子化という観点から扱ってみたい。直交座標での古典力学のハミルトニアンは
\[
H=\sum_i\frac{1}{2m_i}p_i^2+V
\]
であるが、この系のシュレディンガー方程式を作るには
\[
p_i\quad\Longrightarrow\quad \frac{\hbar}{i}\frac{\partial\,}{\partial\, x_i}
\]
と置き換えて、波動関数に作用させればよい。これは量子力学では、演算子\(\hat{p}_i\)の位置表示が\(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\,}{\partial\, x_i}\)だということである。では
一般座標でのハミルトニアンの\(p_\alpha\)を単純に\(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\,}{\partial\, q_\alpha}\)に置き換えたものが正しいシュレディンガー方程式になるのだろうか。
このことがここでの主題である。結論を先に言えば、極座標では正しくなく、重心相対座標では正しい。正しいのは座標変換が線形の場合である。線形というのは例えば\((x,y)\to(x',y')\)への変換で
\begin{eqnarray}
x'&=&2x+3y\notag\\
y'&=&5x-4y\notag
\end{eqnarray}
のような場合である。直交座標から2次元極座標への変換は
\[
x=r\cos\theta\qquad\qquad y=r\sin\theta
\]
なので、線形変換ではない。一方、直交座標から重心・相対座標への変換は
\[
x_g=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}\qquad
x_g=x_2-x_1
\]
であり、線形なので正しいのである。
ではこのことを示そう。座標変換に関係があるのは\(\frac{\partial\,^2}{\partial\, x_i^2}\)の部分だけなので、その部分だけに着目する。すると直交座標ではシュレディンガー方程式のハミルトニアン演算子は \[ \hat{H}=-\sum_i\frac{\hbar^2}{2m_i}\frac{\partial\, }{\partial\, x_i^2} \] であるが、これを一般座標の\(q_\alpha\)系に変換すると \begin{eqnarray} \hat{H}&=& -\sum_i\frac{\hbar^2}{2m_i}\sum_\alpha\frac{\partial\, q_\alpha}{\partial\, x_i}\frac{\partial\,}{\partial\, q_\alpha}\sum_\beta\left(\frac{\partial\, q_\beta}{\partial\, x_i}\frac{\partial\,}{\partial\, q_\beta}\right)\notag\\ &=&- \sum_{i,\alpha,\beta} \frac{\hbar^2}{2m_i} \left[ \frac{\partial\, q_\alpha}{\partial\, x_i}\frac{\partial\, q_\beta}{\partial\, x_i} \frac{\partial\,^2}{\partial\, q_\alpha \partial\, q_\beta} + \frac{\partial\, q_\alpha}{\partial\, x_i} \left(\frac{\partial\,}{\partial\, q_\alpha}\frac{\partial\, q_\beta}{\partial\, x_i}\right) \frac{\partial\,}{\partial\, q_\beta} \right] \label{ry1} \end{eqnarray} となる。これが一般座標でのシュレディンガー方程式のラプラシアンの部分である。一方古典力学のハミルトニアンはどうか。直交座標での運動量を\(P_i\)、一般座標のそれを\(p_\alpha\)と書こう。さて定理4-3で述べたように \begin{equation} P_i=\sum_\alpha\frac{\partial\, q_\alpha}{\partial\, x_i}p_\alpha \label{ry2} \end{equation} である。\(H\)は不変量なので(定理4-4)、一般座標で表したハミルトニアンは、直交座標の\(H\)に式(\ref{ry2})を代入した式になる。すなわち直交座標では \[ H=\sum_i\frac{1}{2m_i}P_i^2 \] なので、一般座標では \begin{equation} H=\sum_{i,\alpha,\beta}\frac{1}{2m_i}\frac{\partial\, q_\alpha}{\partial\, x_i}\frac{\partial\, q_\beta}{\partial\, x_i}p_\alpha p_\beta \label{ry3} \end{equation} となる。さて、式(\ref{ry1})と式(\ref{ry3})を比べてみると、式(\ref{ry3})で\(p_\alpha\to \frac{\hbar}{i}\frac{\partial\, }{\partial\, q_\alpha}\) と置き換えてみよう。置き換えるとき\(p\)は右端におく。順序が異なれば異なる演算子になるからである。さて置き換えただけでは量子力学のハミルトニアンには一致しない。置き換えてさらに \[ -\sum_{i,\alpha,\beta} \frac{\hbar^2}{2m_i} \frac{\partial\, q_\alpha}{\partial\, x_i} \left(\frac{\partial\,}{\partial\, q_\alpha}\frac{\partial\, q_\beta}{\partial\, x_i}\right) \frac{\partial\,}{\partial\, q_\beta} \] を加えなければならない。 ところで、変換が線形のときは、これは0となる。 以上のことをまとめると次のように言える。
定理D-1 一般座標でのハミルトニアンは \[ H=\sum_{i,\alpha,\beta}\frac{1}{2m_i}\frac{\partial\, q_\alpha}{\partial\, x_i}\frac{\partial\, q_\beta}{\partial\, x_i}p_\alpha p_\beta \] である。運動量\(p_\alpha\)を右端におき、 運動量\(p_\alpha\)を \(p_\alpha\to \frac{\hbar}{i}\frac{\partial\, }{\partial\, q_\alpha}\)と置き換えて演算子とする。その演算子にさらに \begin{equation} -\sum_{i,\alpha,\beta} \frac{\hbar^2}{2m_i} \frac{\partial\, q_\alpha}{\partial\, x_i} \left(\frac{\partial\,}{\partial\, q_\alpha}\frac{\partial\, q_\beta}{\partial\, x_i}\right) \frac{\partial\,}{\partial\, q_\beta} \label{toiu} \end{equation} という項を加えれば正しいシュレディンガー方程式の演算子が得られる。直交座標からの座標変換が線形のときは 加えなくて良い。
さて、事実としてはただこれだけの話なのだが、これをテンソルの記号を使ってすっきりさせよう。 このいわゆる余分な項(\ref{toiu})を変形しよう。 \begin{eqnarray} \sum_{i,\alpha,\beta} \frac{\hbar^2}{2m_i} \frac{\partial\, q_\alpha}{\partial\, x_i} \left(\frac{\partial\,}{\partial\, q_\alpha}\frac{\partial\, q_\beta}{\partial\, x_i}\right) \frac{\partial\,}{\partial\, q_\beta} &=& \sum_{i,\alpha,\lambda} \frac{\hbar^2}{2m_i} \frac{\partial\, q_\alpha}{\partial\, x_i}\sum_j\delta^j_i \left(\frac{\partial\,}{\partial\, q_\alpha}\frac{\partial\, q_\lambda}{\partial\, x_j}\right) \frac{\partial\,}{\partial\, q_\lambda}\notag\\ &=& \sum_{i,j,\alpha,\lambda} \frac{\hbar^2}{2m_i} \frac{\partial\, q_\alpha}{\partial\, x_i}\left(\sum_\beta\frac{\partial\, q_\beta}{\partial\, x_i}\frac{\partial\, x_j}{\partial\, q_\beta}\right) \left(\frac{\partial\,}{\partial\, q_\alpha}\frac{\partial\, q_\lambda}{\partial\, x_j}\right)\frac{\partial\,}{\partial\, q_\lambda}\notag\\ &=&\sum_{i,\alpha,\beta,\lambda} \frac{\hbar^2}{2m_i} \frac{\partial\, q_\alpha}{\partial\, x_i}\frac{\partial\, q_\beta}{\partial\, x_i} \sum_{j} \left[ \frac{\partial\, x_j}{\partial\, q_\beta} \left(\frac{\partial\,}{\partial\, q_\alpha}\frac{\partial\, q_\lambda}{\partial\, x_j}\right)\right]\frac{\partial\,}{\partial\, q_\lambda} \notag \end{eqnarray} さて一般に \[ \Gamma_{\alpha,\beta}^\lambda\equiv -\sum_j\frac{\partial\, x_j}{\partial\, q_\beta} \left(\frac{\partial\,}{\partial\, q_\alpha}\frac{\partial\, q_\lambda}{\partial\, x_j}\right) \] という記号がテンソルの世界では使われる。\(\Gamma_{\alpha,\beta}^\lambda\)の定義はいろいろ可能だがとりあえず、これも1つの定義である。この記号を使うと \[ \sum_{i,\alpha,\beta} \frac{\hbar^2}{2m_i} \frac{\partial\, q_\alpha}{\partial\, x_i} \left(\frac{\partial\,}{\partial\, q_\alpha}\frac{\partial\, q_\beta}{\partial\, x_i}\right) \frac{\partial\,}{\partial\, q_\beta} =-\sum_{i,\alpha,\beta} \frac{\hbar^2}{2m_i} \frac{\partial\, q_\alpha}{\partial\, x_i}\frac{\partial\, q_\beta}{\partial\, x_i} \sum_{\lambda} \Gamma_{\alpha,\beta}^\lambda\frac{\partial\,}{\partial\, q_\lambda} \] となる。 これを式(\ref{ry1})に代入すると \[ H= -\sum_{i,\alpha,\beta} \frac{\hbar^2}{2m_i} \left[ \frac{\partial\, q_\alpha}{\partial\, x_i}\frac{\partial\, q_\beta}{\partial\, x_i}\left( \frac{\partial\,^2}{\partial\, q_\alpha \partial\, q_\beta} - \sum_{\lambda} \Gamma_{\alpha,\beta}^\lambda\frac{\partial\,}{\partial\, q_\lambda}\right) \right] \] となる。
さて共変微分というものを（本当に）簡単に説明しよう。 共変微分演算子\(\nabla_\alpha\)をスカラー\(\psi\)に作用させるというのは \[ \nabla_\alpha \psi\equiv\frac{\partial\, \psi}{\partial\, q_\alpha} \] と定義される。すなわちたたの微分である。また\(\nabla_\beta\nabla_\alpha \psi\)は \[ \nabla_\beta\nabla_\alpha \psi\equiv\frac{\partial\, }{\partial\, q_\beta}\frac{\partial\, \psi}{\partial\, q_\alpha}-\Gamma^\lambda_{\beta,\alpha}\frac{\partial\, \psi}{\partial\, q_\lambda} \] と定義される。 さてこれを使うと \begin{equation} \hat{H}= -\sum_{i,\alpha,\beta}\frac{\hbar^2}{2m_i} \frac{\partial\, q_\beta}{\partial\, x_i}\frac{\partial\, q_\alpha}{\partial\, x_i}\nabla_\beta\nabla_\alpha \label{ry7} \end{equation} となる。これは単に式(\ref{ry1})をテンソルの共変微分の記号で書き換えただけである。ただ式(\ref{ry7})のように書くことで、ずいぶん見通しがよくなったと感じる。さて、式(\ref{ry7})を一般座標での古典力学のハミルトニアン \[ H=\sum_{i,\alpha,\beta}\frac{1}{2m_i} \frac{\partial\, q_\beta}{\partial\, x_i}\frac{\partial\, q_\alpha}{\partial\, x_i}p_\beta p_\alpha \] と比べると \[ p_\alpha\quad\Longrightarrow \quad \frac{\hbar}{i}\nabla_\alpha \] と置き換えればよいことがわかる。これが、テンソルの言葉を使った、\(q_\alpha\)がどんな座標であろうとも成り立つ量子化の手法である。すなわち
定理D-2 古典力学のハミルトニアン \[ H=\sum_{i,\alpha,\beta}\frac{1}{2m_i} \frac{\partial\, q_\beta}{\partial\, x_i}\frac{\partial\, q_\alpha}{\partial\, x_i}p_\beta p_\alpha \] で、運動量\(p_\alpha\)を右端に置き、 \[ p_\alpha\quad\Longrightarrow \quad \frac{\hbar}{i}\nabla_\alpha \] と置き換えれば正しいシュレディンガー方程式の演算子が得られる。ここで\(\nabla_\alpha\)は共変微分。