付録A スピン演算子
この付録ではスピン演算子というものを導入し、その\(z\)方向表示を求める。スピン演算子はこの論文での必要性はたいしてないのだが、私自身の興味もあってここに記すことにした。
ある方向\(n\)のスピン演算子\(S^n\)とは、 その\(n\)方向の表示で \[ S^n_{n'n}\equiv\frac{\hbar}{2} \left(\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&-1 \end{array}\right) \] となる演算子のことである。このように定義した理由を簡単に述べると、これは第4章で述べた、軌道グループでの演算子の定義――――そこではスピンに関しては演算子は定義していなかった――――の仕方をスピンにも適用しようということである。第4章の命題4.2で述べたように、ある物理量の演算子はその物理量の表示（基底がその物理量の測定状態）で対角成分がその測定値となる対角行列なのであった。別の言い方をすると、測定状態がその演算子の固有状態で、かつ固有値が測定値となる行列のことであった。実際\(n\)方向の測定状態は\(n\)方向表示で \[ k(n;n+)=\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right) \qquad\qquad k(n;n-)=\left(\begin{array}{c} 0\\1\end{array}\right) \] だが、 \[ \frac{\hbar}{2} \left(\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&-1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)=\frac{\hbar}{2} \left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right) \qquad\qquad \frac{\hbar}{2} \left(\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&-1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right)=-\frac{\hbar}{2} \left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right) \] となって、測定状態がこの演算子の固有状態になって、固有値が測定値\(\hbar/2,-\hbar/2\)になっている。この結果、\(n\)方向のスピンの平均値は \[ \psi^\dagger S^n\psi \] を計算すればよいし（第5章、命題5.1）、その平均値\(\left\langle S^n\right\rangle \)の時間発展は \[ \frac{d\left\langle S^n\right\rangle }{dt}=\psi^\dagger \frac{[S^n,H]}{i\hbar}\psi \] に従うことになる（第5章、命題5.2）。
さて、話を本題に戻そう。 \(n\)方向のスピン演算子の\(z\)方向表示は \[ S^n_{z'z}=\sum_{n,n'}U_{zn'}S^n_{n'n}U^*_{zn} \] を計算すれば求まる(注 勘違いすることはないと思うが一応注意しておくと、ここで\(n\)について和を取っているが、それは\(S^n_{n'n}\)の下添字のみである。上添字の\(n\)は固定されており和には関係ない。以後も同様。)。これを使って\(z\)方向、\(x\)方向、\(y\)方向のスピン演算子\(S^z\)、\(S^x\)、\(S^y\)の\(z\)方向表示を求めよう。 \(S^z\)の\(z\)方向表示\(S^z_{z'z}\)は、定義のまま \[ S^z_{z'z}= \frac{\hbar}{2} \left(\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&-1 \end{array}\right) \] である。 \(S^x\)の\(z\)方向表示\(S^x_{z'z}\)は \[ S^x_{z'z}=\sum_{x,x'}U_{zx'}S^x_{x'x}U^*_{zx} \] を計算すればよい。\(U_{zx}\)は第3章で導いた（第3章、式(8)参照） \[ U_{zx}=\frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{cc} 1&1\\ 1&-1 \end{array}\right) \] なので \begin{eqnarray} S^x_{z'z}&=& \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{cc} 1&1\\ 1&-1 \end{array}\right) \cdot \frac{\hbar}{2} \left(\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&-1 \end{array}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{cc} 1&1\\ 1&-1 \end{array}\right)\notag\\ &=& \frac{\hbar}{4} \left(\begin{array}{cc} 1&1\\ 1&-1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} 1&1\\ -1&1 \end{array}\right)\notag\\ &=& \frac{\hbar}{2} \left(\begin{array}{cc} 0&1\\ 1&0 \end{array}\right)\notag \end{eqnarray} となる。同様に \(S^y_{z'z}\)は \[ S^y_{z'z}=\sum_{y,y'}U_{zy'}S^y_{y'y}U^*_{zy} \] を計算すればよい。\(U_{zy}\)は第3章で導いた（第3章、式(17)参照） \[ U_{zy}= \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{cc} 1&1\\ i&-i \end{array}\right) \] なので、 \begin{eqnarray} S^y_{z'z}&=& \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{cc} 1&1\\ i&-i \end{array}\right) \cdot \frac{\hbar}{2} \left(\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&-1 \end{array}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{cc} 1&-i\\ 1&i \end{array}\right)\notag\\ &=& \frac{\hbar}{4} \left(\begin{array}{cc} 1&1\\ i&-i \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} 1&-i\\ -1&-i \end{array}\right)\notag\\ &=& \frac{\hbar}{2} \left(\begin{array}{cc} 0&-i\\ i&0 \end{array}\right)\notag \end{eqnarray} となる。 また、\(n\)方向（極座標で\(\theta,\phi\)）のスピン演算子\(S^n\)はの\(z\)方向表示は \[ S^n_{z'z}=\sum_{n,n'}U_{zn'}S^n_{n'n}U^*_{zn} \] を計算すればよい。\(U_{zn}\)は第3章で導いた（第3章、式(11)参照） \[ U_{zn}= \left(\begin{array}{cc} \cos(\theta/2)&\sin(\theta/2)\\ \sin(\theta/2)e^{i\phi}&-\cos(\theta/2)e^{i\phi} \end{array}\right) \] なので \begin{eqnarray} S^{n}_{z'z}&=& \left(\begin{array}{cc} \cos(\theta/2)&\sin(\theta/2)\\ \sin(\theta/2)e^{i\phi}&-\cos(\theta/2)e^{i\phi} \end{array}\right) \cdot \frac{\hbar}{2} \left(\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&-1 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{cc} \cos(\theta/2)&\sin(\theta/2)e^{-i\phi}\\ \sin(\theta/2)&-\cos(\theta/2)e^{-i\phi} \end{array}\right) \notag\\ &=& \frac{\hbar}{2} \left(\begin{array}{cc} \cos(\theta/2)&\sin(\theta/2)\\ \sin(\theta/2)e^{i\phi}&-\cos(\theta/2)e^{i\phi} \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} \cos(\theta/2)&\sin(\theta/2)e^{-i\phi}\\ -\sin(\theta/2)&\cos(\theta/2)e^{-i\phi} \end{array}\right)\notag\\ &=& \frac{\hbar}{2} \left(\begin{array}{cc} \cos\theta&\sin\theta\cdot e^{-i\phi}\\ \sin\theta \cdot e^{i\phi}&-\cos\theta \end{array}\right)\notag \end{eqnarray} となる。 これは \begin{eqnarray} S^{n}_{z'z}&=& \frac{\hbar}{2} \left(\begin{array}{cc} 0&1\\ 1&0 \end{array}\right) \sin\theta\cos\phi + \frac{\hbar}{2} \left(\begin{array}{cc} 0&-i\\ i&0 \end{array}\right) \sin\theta\sin\phi + \frac{\hbar}{2} \left(\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&-1 \end{array}\right) \cos\theta\notag\\ &=&n_x S^x_{z'z}+n_y S^y_{z'z}+n_z S^z_{z'z} \label{spin-a} \end{eqnarray} と変形できる。 ここで\(n_x,n_y,n_z\)は\(n\)方向の各\(x,y,z\)軸への方向余弦。まるで\(S^n\)が空間ベクトルのようになっている。 まとめると
各軸のスピン演算子の\(z\)方向表示は \[ S^x_{z'z}=\frac{\hbar}{2} \left(\begin{array}{cc} 0&1\\ 1&0 \end{array}\right) \qquad S^y_{z'z}= \frac{\hbar}{2} \left(\begin{array}{cc} 0&-i\\ i&0 \end{array}\right) \qquad S^z_{z'z}= \frac{\hbar}{2} \left(\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&-1 \end{array}\right) \] であり、任意の方向\(n\)、極座標で\(\theta,\phi\)方向のスピン演算子\(S^n\)の\(z\)方向表示は \begin{equation} S^{n}_{z'z}= \frac{\hbar}{2} \left(\begin{array}{cc} \cos\theta&\sin\theta\cdot e^{-i\phi}\\ \sin\theta \cdot e^{i\phi}&-\cos\theta \end{array}\right) = n_x S^x_{z'z}+n_y S^y_{z'z}+n_z S^z_{z'z} \label{snz} \end{equation} である。