付録E　固有値が実数であること、固有ベクトルが直交すること

固有値が実数であること

　$\phi$はエルミート演算子$B$の固有ベクトルで固有値は$b$とする。 $$\phi^\dagger B\phi=\phi^\dagger b\phi=b\phi^\dagger \phi$$ であるが一方 $$\phi^\dagger B\phi=(B\phi)^\dagger \phi=(b\phi)^\dagger \phi=b^*\phi^\dagger\phi$$ である。だから $$b\phi^\dagger \phi=b^*\phi^\dagger\phi$$ だから$b=b^*$つまり実数でなければならない。

異なる固有値に対応する固有ベクトルが直交すること

　$\phi_1,\phi_2$はエルミート演算子$B$の固有ベクトルで固有値はそれぞれ$b_1,b_2$とする。 $$\phi_2^\dagger B \phi_1=\phi_2^\dagger b_1 \phi_1=b_1 \phi_2^\dagger \phi_1$$ である。一方 $$\phi_2 B\phi_1=(B\phi_2)^\dagger \phi_1=(b_2\phi_2)^\dagger \phi_1=b_2\phi_2^\dagger\phi_1$$ である。だから $$b_1 \phi_2^\dagger \phi_1=b_2\phi_2^\dagger\phi_1$$ である， もしこの２つの固有値$b_1$と$b_2$が異なるなら$\phi_2^\dagger\phi_1=0$でなければならない。

PDFファイルA4、130ページ、4.8MB

目次

序文

記号・用語

第1章

第2章

第3章

第4章

第5章

第6章

第7章

第8章

第9章

第10章

付録A

付録B

付録C

付録D

付録E

おわりに